「頭の体操」ってパズルをやったり、クイズを解いたりしてみたり、老人のぼけ予防や脳トレてきなイメージが強い気がしますが、役人さんが使う言葉ではちょっと意味が違う気がします。

答えを見つけるために頭を使おうというのは同じだけど

ここでいう頭の体操というのは

今後聞かれるかも知れない質問などについて矛盾無く説明出来るようにいろんなパターンを考えておく

という意味です。

少なくともひいらぎやが言われたときにはこういうニュアンスでうけとりました。

「このことあとで聞かれるかも知れないから頭の体操しておいてね」

という感じです。まぁ実際はもうちょっと文脈があるのでわかりやすいですが…。

時代・担当者が変わる毎に過去の経緯などがわからなくなってきたり状況が変わったりする

という事があるのは当然なのですが、こういったときでも、これって効率的なの？とか聞かれてしまったりすると、「え、これ前任からそう言われたからやっているだけだし」とか「過去の経緯わからない」と言ったことになる場合が役人で無くてもあるとは思います。

とはいえ、これはこうこうこういう理由でやっているんですというのをそれらしく説明しなければいけない場面というのはあり、そういうことが事前に予想出来た場合に、上司から丸投げのための使われる言葉ですね。